Jika anda mencari contoh soal dan rumus rotasi transformasi geometri matematika kelas 9, maka anda tepat berada di artikel ini dimana anda bisa menyimak pembahasannya dibawah ini.
Sekedar informasi, rotasi Matematika adalah perpindahan suatu titik pada bidang geometri dengan cara memutar sejauh sudut α terhadap titik tertentu. Perputaran titik-titik tersebut bisa searah dengan putaran jarum jam dan bisa berlawanan dengan arah putaran jarum jam. Hal inilah menjadi alasan, pada rotasi berlaku perjanjian tanda sudut.
Sudut rotasi akan bertanda negatif jika arah putaran titiknya searah dengan putaran jarum jam. Dan sebaliknya, sudut rotasi akan bertanda positif jika arah putaran titiknya berlawanan dengan putaran jarum jam.
Dalam matematika, kita menggunakan rumus khusus untuk menghitung posisi baru dari titik-titik setelah rotasi untuk membantu memahami bagaimana objek-objek berubah saat diputar.
Rumus Rotasi Transformasi Geometri Matematika Kelas 9
Rotasi adalah cara memutar objek dalam matematika. Ketika anda ingin melakukan rotasi terhadap titik pusat (0, 0), ini berarti pusat perputaran kita adalah titik (0, 0), atau pusat koordinat.
Rumus Rotasi terhadap Titik Pusat (0, 0):
Untuk memutar suatu titik (x, y) sebesar θ derajat terhadap pusat (0, 0), anda bisa gunakan rumus berikut:
x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)
Di mana (x’, y’) adalah koordinat baru setelah rotasi, (x, y) adalah koordinat awal, dan θ adalah sudut rotasi dalam radian.
Rotasi terhadap Titik Pusat (a, b)
Terkadang, kita ingin melakukan rotasi terhadap titik pusat lainnya, seperti (a, b). Ini berarti pusat perputaran anda bergantung pada titik tersebut.
Rumus Rotasi terhadap Titik Pusat (a, b)
Untuk memutar suatu titik (x, y) sebesar θ derajat terhadap pusat (a, b), kita gunakan rumus berikut:
x’ = (x – a) * cos(θ) – (y – b) * sin(θ) + a y’ = (x – a) * sin(θ) + (y – b) * cos(θ) + b
Di sini, (x’, y’) adalah koordinat baru setelah rotasi, (x, y) adalah koordinat awal, (a, b) adalah pusat rotasi, dan θ adalah sudut rotasi dalam radian.
Dengan memahami rumus-rumus rotasi ini, anda dapat memahami cara memutar objek atau titik-titik di sekitar anda tergantung pada pusat perputaran yang anda pilih, mulai dari titik (0, 0) atau titik lainnya seperti (a, b).
Contoh Soal dan Rumus Rotasi Transformasi Geometri Matematika Kelas 9
Contoh Soal No. 1-5
1. Jika titik (6, 10) dirotasikan 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (0,0), maka posisi titik bayangannya adalah….
A. (10, -6)
B. (-6, -10)
C. (-10, 6)
D. (6, 10)
Jawaban: C. (-10, 6)
2. Jika terdapat sebuah titik (3,-2) yang merupakan hasil rotasi sebesar -180
° , maka titik asalnya adalah….
A. A’(-3, 2)
B. A’(-2, 3)
C. A’(6, -4)
D. A’(-4, 6)
Jawaban: A. A’(-3, 2)
3. Koordinat titik A’ setelah mengalami rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat O(0,0), yang merupakan bayangan dari titik awal (3,5), adalah….
A. A’(5,3)
B. A’(-3, -5)
C. A’(-5, -3)
D. A’(-5, 3)
Jawaban: D. A’(-5, 3)
4. Jika titik G(1, 5) dirotasikan sejauh 90° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka akan terbentuk bayangan di titik . . . .
A. G'(-1, -5)
B. G'(1, -5)
C. G'(-5, 1)
D. G'(5,1)
Jawaban: C. G'(-5, 1)
5. Jika titik U(1, 3) dirotasikan sejauh 90° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka akan membentuk bayangan di titik . . . .
A. U'(-3,1)
B. U'(3, 2)
C. U'(-1, 3)
D. U'(2, 3)
Jawaban: A. U'(-3,1)
Contoh Soal No. 6-10
6. Bayangan dari titik B(3, 2) setelah rotasi sejauh 180° dengan pusat rotasi di (0, 0) adalah. . . .
A. B'(3, 2)
B. B'(-3, -2)
C. B'(-3, 2)
D. B'(3, -2)
Jawaban: B. B'(-3, -2)
7. Setelah melakukan rotasi sejauh 180° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka titik F(-5, -5) akan membentuk bayangan di titik . . . .
A. F'(-5,5)
B. F'(5, -5)
C. F'(-5, 5)
D. F'(-5, -5)
Jawaban: D. T'(-1, 2)
8. Setelah melakukan rotasi sejauh 180° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka titik G(-6, 1) akan membentuk bayangan di titik . . . .
A. G'(6, -1)
B. G'(6, 1)
C. G'(-6, 1)
D. G'(6, -1)
Jawaban: D. G'(6, -1)
9. Jika titik H(1, -6) dirotasikan sejauh 180° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka akan terbentuk bayangan di titik . . . .
A. H'(1, 6)
B. H'(-1, 6)
C. H'(1, -6)
D. H'(-1, -6)
Jawaban: B. H'(-1, 6)
10. Hasil dari rotasi titik A(-3, -4) dengan pusat rotasi (0, 0) sejauh 90° adalah . . . .
A. A'(-4, -3)
B. A'(-4, 3)
C. A'(4, 3)
D. A'(4, -3)
Jawaban: D. A'(4, -3)
Contoh Soal No. 11-12
11. Jika titik P(7, 5) dirotasikan sejauh 90° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), maka hitunglah koordinat bayangan yang terbentuk!
Jawaban: Untuk menghitung koordinat bayangan dari titik P(7, 5) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat rotasi O(0, 0), penghitungan dapat dilakukan dengan menggunakan rumus rotasi transformasi geometri matematika:
Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)
Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)
Dalam kasus ini, pusat rotasi adalah O(0, 0) dan sudut rotasi adalah 90° berlawanan arah jarum jam. Maka:
x’ = 7 * cos(90°) – 5 * sin(90°)
x’ = 7 * 0 – 5 * 1 x’ = 0 – 5 x’ = -5
y’ = 7 * sin(90°) + 5 * cos(90°)
y’ = 7 * 1 + 5 * 0 y’ = 7 + 0 y’ = 7
Jadi, koordinat bayangan dari titik P(7, 5) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat rotasi O(0, 0) adalah (-5, 7).
12. Ketika titik N(4, 7) dirotasikan sejauh 90° dengan pusat rotasi di titik O(0, 0), hitunglah koordinat bayangan yang terjadi!
Jawaban: Untuk menghitung koordinat bayangan dari titik N(4, 7) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat rotasi O(0, 0), rumus rotasi transformasi geometri matematika yang digunakan:
Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)
Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)
Dalam kasus ini, pusat rotasi adalah O(0, 0) dan sudut rotasi adalah 90° berlawanan arah jarum jam. Maka:
x’ = 4 * cos(90°) – 7 * sin(90°)
x’ = 4 * 0 – 7 * 1
x’ = 0 – 7
x’ = -7
y’ = 4 * sin(90°) + 7 * cos(90°)
y’ = 4 * 1 + 7 * 0
y’ = 4 + 0
y’ = 4
Jadi, koordinat bayangan dari titik N(4, 7) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat rotasi O(0, 0) adalah (-7, 4).
Contoh Soal No. 13-15
13. Jika kita memutar titik A(9, 3) sejauh 90° berlawanan arah jarum jam, maka hitunglah posisi bayangan dari titik A!
Jawaban: Untuk menghitung posisi bayangan dari titik A(9, 3) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam, bisa menggunakan rumus rotasi transformasi geometri matematika berupa:
Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)
Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)
Dalam rotasi ini, sudut rotasi adalah 90° berlawanan arah jarum jam. Maka:
x’ = 9 * cos(90°) – 3 * sin(90°)
x’ = 9 * 0 – 3 * 1
x’ = 0 – 3
x’ = -3
y’ = 9 * sin(90°) + 3 * cos(90°)
y’ = 9 * 1 + 3 * 0
y’ = 9 + 0
y’ = 9
Jadi, posisi bayangan dari titik A(9, 3) setelah dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam adalah (-3, 9).
Contoh Soal No. 14
14. Ketika titik A(6, -12) dirotasikan sejauh 180° berlawanan arah jarum jam, maka hitunglah hasil bayangan titik A!
Jawaban: Untuk menghitung koordinat bayangan dari titik A(6, -12) setelah dirotasikan sejauh 180° berlawanan arah jarum jam, rumus rotasi transformasi geometri matematika yang digunakan ialah:
Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)
Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)
Dalam rotasi ini, sudut rotasi adalah 180°. Maka:
x’ = 6 * cos(180°) – (-12) * sin(180°)
x’ = 6 * (-1) – (-12) * 0
x’ = -6 + 0
x’ = -6
y’ = 6 * sin(180°) + (-12) * cos(180°)
y’ = 6 * 0 + (-12) * (-1)
y’ = 0 + 12
y’ = 12
Jadi, hasil bayangan dari titik A(6, -12) setelah dirotasikan sejauh 180° berlawanan arah jarum jam adalah (-6, 12).
Contoh Soal No. 15
15. Bayangan dari titik P(1, 4) setelah dirotasikan sejauh 180° dan kemudian dirotasikan sejauh 90°, hitunglah koordinat titik bayangan tersebut!
Jawaban: Untuk menghitung koordinat bayangan dari titik P(1, 4) setelah dirotasikan sejauh 180° dan kemudian dirotasikan sejauh 90°, maka penghitungkan dilakukan dua kali.
Rotasi Pertama (180°) Rotasi pertama adalah sejauh 180° berlawanan arah jarum jam. Rumus rotasi transformasi geometri matematika yang digunakan:
Untuk x’: x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)
Untuk y’: y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)
Dalam rotasi pertama ini, sudut rotasi adalah 180°. Maka:
x’ = 1 * cos(180°) – 4 * sin(180°)
x’ = 1 * (-1) – 4 * 0
x’ = -1 – 0
x’ = -1
y’ = 1 * sin(180°) + 4 * cos(180°)
y’ = 1 * 0 + 4 * (-1)
y’ = 0 – 4
y’ = -4
Jadi, setelah rotasi pertama sejauh 180°, titik P(1, 4) akan menjadi (-1, -4).
Rotasi Kedua (90°) Sekarang, kita akan merotasi titik hasil rotasi pertama (-1, -4) sejauh 90° berlawanan arah jarum jam. Rumus rotasi transformasi geometri matematika yang digunakan:
x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)
Dalam rotasi kedua ini, sudut rotasi adalah 90°. Simak perhitungannya sebagai berikut.
x’ = (-1) * cos(90°) – (-4) * sin(90°)
x’ = (-1) * 0 + 4 * 1
x’ = 0 + 4
x’ = 4
y’ = (-1) * sin(90°) + (-4) * cos(90°)
y’ = (-1) * 1 + (-4) * 0
y’ = -1 + 0
y’ = -1
Jadi, setelah rotasi kedua sejauh 90°, titik bayangan dari P(1, 4) adalah (4, -1).
Demikian informasi mengenai contoh soal dan rumus rotasi transformasi geometri matematika kelas 9. Semoga berguna dan bermanfaat sebab penting untuk memahami konsep rotasi karena hal ini memiliki banyak aplikasi selain di ilmu matematika, seperti desain grafis, ilmu komputer, dan bahkan dalam ilmu fisika. Dengan menguasai rumus rotasi, anda dapat melakukan transformasi geometri dengan lebih baik.