Bagi anda yang mencari informasi pembahasan barisan deret aritmatika dan geometri, maka anda tepat berada di artikel ini diimana anda akan menemukan informasi lengkapnya dengan contoh soalnya.
Sebagaimana yang kita ketahui bersama, barisan deret aritmatika dan geometri merupakan materi yang dipelajari untuk mata pelajaran matematika. Materi pelajaran ini bisa dikatakan gampang-gampang susah dimana diperlukan pemahaman yang baik agar bisa memahami pelajaran ini dan mengerjakan soal-soal dengan baik.
Bagi banyak orang mungkin berpikir barisan deret aritmatika dan geometri adalah hal yang sama, tetapi sejatinya kedua deret ini memiliki konsep perhitungan yang berbeda antara satu dengan yang lainnya.
Barisan sendiri adalah sebuah urutan dari suatu anggota himpunan dari berdasarkan suatu aturan tertentu saja. Yang pada anggota himpunan diurutkan pada urutan atau suku pertama, kedua, dan selanjutnya, untuk bisa menyatakan sebuah urutan atau suku ke n dari suatu barisan akan dilambangkan dengan Un.
Lalu apa perbedaan barisan deret aritmatika dan geometri? Sekedar informasi, barisan aritmatika adalah barisan atau urutan bilangan yang memiliki selisih tetap. Contohnya yakni seperti urutan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, dan seterusnya. Apabila diperhatikan, selisih antarbilangannya selalu tetap, yaitu 2. Selisih pada barisan aritmatika disebut sebagai beda atau dinyatakan secara matematis sebagai b. Setiap bilangan yang menyusun barisan disebut suku atau dinyatakan sebagai Un . Misalnya, 1 = suku ke-1 (U1), 3 = suku ke-2 (U2), 5 = suku ke-3 (U3), dan seterusnya. Sementara itu, suku pertama (U1) pada barisan dinyatakan secara matematis sebagai a.
Sedangkan barisan geometri adalah pola yang memiliki pengali atau rasio yang tetap untuk setiap 2 suku yang berdekatan. Rasio pada barisan geometri biasa disimbolkan dengan r. Barisan geometri juga biasa disebut sebagai barisan ukur.
Rumus Barisan Aritmatika
Rumus barisan aritmatika tidak bisa terlepas dari ketiga variabel yang telah disebutkan sebelumnya, yaitu selisih atau beda (b), suku pertama (a), dan posisi suku ke-n (n). Secara matematis, suku ke-n (Un) barisan aritmatika dirumuskan sebagai berikut.
Dengan:
- Un = suku ke-n;
- a = suku ke-1;
- n = posisi suku yang ditanyakan; dan
- b = selisih (Un-1 – Un).
Setelah mengetahui rumus barisan aritmatika di atas, cobalah untuk menyelesaikan tantangan di awal artikel ini. Berapakah suku ke-20 dari barisan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, …, …?
Dari barisan tersebut diperoleh:
- a = 1
- b = 2
Suku ke-20 dinyatakan sebagai U20. Dengan demikian suku ke-20 dari barisan tersebut adalah 39. Mudah bukan?
Rumus Barisan Geometri
Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri, Anda dapat menghitungnya dengan rumus seabagai berikut.
- Un=a.rⁿ⁻¹
Sementara, rumus untuk mencari rasio pada barisan geometri adalah.
Keterangan:
- Un = suku ke-n
- a = suku pertama
- r = rasio
- n = banyaknya suku
Contoh Soal Deret Aritmatika
Agar anda bisa memahami lebih jauh mengenai barisan deret aritmatika dan geometri. Berikut beberapa contoh soal barisan deret aritmatika dan geometri.
Soal 1
Berapa besarnya U32 dari deret barisan berikut 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, …
Jawab:
a = 7, b = 2
sehingga dapat dihitung bahwa U32 = a + (n-1) b = 7 + (32-1)2 = 69
Soal 2
Jumlah n pada suku pertama dalam deret aritmatika digambarkan sebagai Sn = (5n – 19). Hitunglah besarnya beda pada deret tersebut.
Jawab:
S1 = 1/2 (5(1) -19) = -7
S1 = U1 didefinisikan sebagai a yang merupakan suku pertama dalam deret
S2 = 2/2 (5×2 – 19) = -9
S2 = U1 + U2 = a + (a+b)
S2 = -7 + (-7+b) = -9
b = -9 + 14 = 5
Besarnya beda dalam deret ini adalah 5
Soal 3
Cobalah untuk menentukan suku tengah dari deret berikut ini 9, 11, 13, 15, 17, …. 69
Jawab:
Un = 69, a = 9
Sehingga:
Ut = 1/2 (a+Un) = 1/2 (9+69) = 39
Soal 4
Seorang ibu memiliki 5 anak dengan usia yang membentuk sebuah deret aritmatika. Jika diketahui sekarang usia anak bungsu adalah 15 tahun.
Sedangkan anak sulungnya berusia 23 tahun, maka hitunglah jumlah umur 5 anak untuk 10 tahun mendatang.
Jawab:
Kelima umur anak membentuk deret aritmatika, sehingga 10 tahun kemudian umur mereka juga akan membentuk deret yang memiliki interval sama.
Seperti inilah jika menghitung umur untuk 10 tahun mendatang:
Anak bungsu 10 tahun mendatang adalah 25 tahun
Anak sulung 10 tahun kemudian berusia 33 tahun
U1 = a = 33
U5 = 25
S5 = 5/2 (a + U5)
S5= 5/2 (33+25)
S5 = 145
atau
a=33
U5 = a + 4b = 25
Masukkan nilai a ke U5
33 + 4b = 25
4b = 25-33
b = -8/4 = -2
Sehingga
S5 = 5/2 (2.33 + (5-1)-2)
S5 = 5/2 (66 + 4) (-2))
S5 = 5/2 (66-8)
S5 = 5/2 (58)
S5 = 145
Sehingga dapat disimpulkan bahwa total kelima anak 10 tahun mendatang adalah 145
Soal 5
Dalam sebuah deret aritmatika, sudah diketahui jika suku tengah dari deret tersebut adalah 32.
Apabila jumlah n pada suku pertama deret tersebut adalah 672, Berapa banyak suku yang terdapat pada deret tersebut?
Jawab:
ut = 1/2 (a+un) = 32
a + Un = 32 (2)
a + Un = 64
Sn = n/2 (a+Un)
672 = n/2 (64)
672 = n (32)
21 = n
Banyaknya suku deret adalah sebanyak 21
Soal 6
Perhatikan deret berikut 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, …
Hitung berapa deret untuk 25 angka pertama.
Jawab:
a = 7, b = 2
Carilah U25 terlebih dahulu dengan cara berikut.
U25 = a + (n-1) b = 7 + (23-1)2 = 55
Setelah itu, hitunglah deret hingga S25 dengan cara berikut.
S25 = 25/2 (7+55) = 25/2 (62) = 775
Contoh Soal Deret Geometri
Bukan hanya harus memahami soal deret aritmatika saja, namun juga harus memahami contoh soal deret geometri.
Untuk dapat mengerjakan soal barisan deret aritmatika dan geometri, kamu harus berfokus terhadap rumus sehingga dapat menyelesaikan dengan baik. Berikut contoh soalnya.
Contoh 1
Hitunglah jumlah 7 suku pertama yang terdapat pada deret geometri berikut ini 4 + 12 + 36 + 108 + …
Jawab:
Diketahui a = 4, sedangkan r = 3
S7 = 4 (rn – 1) / (r – 1)
S7 = 4 (37-1) / (3 – 1)
S7 = 4372
Sehingga mendapatkan hasil akhir bahwa jumlah 7 suku pertama dalam deret adalah 4372.
Contoh 2
Hitunglah berapa suku bilangan ke 11 dari deret berikut ini 1, 2, 4, 8, 16 ….
Jawab:
a = 1, r = 2
n = 11
Un = ar n-1
U11 = 1.2 11-1 = 2 10 = 1024
Contoh 3
Silahkan hitung jumlah dari deret geometri berikut 4 + 2 + 1 +1/2 + ¼ …
Jawab:
Sudah diketahui bahwa a = 4, sedangkan r = 1/2
Sn = a / (1 – r)
Sn = 4 / (1 – 1/2)
Sn = 4 / (1/2)
Sn = 4 x 2
Sn = 8
Jadi jumlah deret geometri tersebut adalah 8
Contoh 4
Umur Rika, Amir dan Ina dibentuk dalam deret barisan geometri. Jumlah usia ketiganya adalah 14 tahun. Sedangkan perbandingan umur Ina dan Amir adalah 2:1.
Rika memiliki umur yang paling muda. Berapakah umurnya?
Jawab:
U1 = a = usia Rika
U2 = ar = usia Amir
U3 = ar2 = usia Ina
r = U3/U2 = 2/1 = 2
U1 + U2 + U3 = 14
a + ar + ar2 = 14
a + a(2) + a(2)2 = 14
a + 2a + 4a = 14
7a = 14
a = 2
Sehingga dapat disimpulkan bahwa usia Rika adalah 2 tahun
Contoh 5
Zat radioaktif mengalami perubahan bentuk setengahnya dalam kurun waktu 2 jam. Jika pada jam 06.00 massa zat tersebut adalah sebesar 1.600 gram.
Hitunglah berapa berat massa pada jam 14.00?
Jawab:
06.00 = 1.600 gram
08.00 = 800 gram
10.00 = 400 gram
12.00 = 200 gram
14.00 = 100 gram
Hasil tersebut dihasilkan dari rumus sebagai berikut:
U5 = 1600 (1/2) 5-1 = 100
Dapat dijawab bahwa massa zat pada jam 14.00 adalah seberat 100 gram.
Contoh 6
Hitunglah jumlah dari barisan geometri sebagai berikut 2 + 6 + 18 +…. + 4374
Jawab:
a = 2 dan r = 3
Un = arn-1
4374 = 2. (3n-1)
3n-1 =4374 / 2
3n-1 = 2187
3n-1 = 37
n-1 = 7
n = 8
Sehingga perhitungannya sebagai berikut S8 = a (rn – 1) / (r – 1)
S8 = 2 (38-1) / (3 – 1)
S8 = 2 (6560) / 2
Dapat disimpulkan bahwa S8 = 6560
Demikian informasi mengenai informasi pembahasan barisan deret aritmatika dan geometri lengkap dengan rumus dan contohnya soalnya yang perlu anda ketahui. Semoga berguna dan bermanfaat.